本篇文章给大家谈谈正定矩阵的特征值，以及正定矩阵与E合同的证明对应的知识点，文章可能有点长，但是希望大家可以阅读完，增长自己的知识，最重要的是希望对各位有所帮助，可以解决了您的问题，不要忘了收藏本站喔。
正定矩阵的特征及性质
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU
4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。
一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z。
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
参考资料来源：百度百科--正定矩阵
正定二次型中,对应矩阵的特征值都是大于0吗
1、设A为正定矩阵，若a为其特征值，则按定义有Ax= ax,x为a对应的特征向量且x不等于0。
2、根据正定矩阵的定义有x'Ax>0，所以ax'x>0，因为x'x>0,所以a>0。
3、设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
4、如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν。
5、其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。
6、其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
正定矩阵必有n个特征值吗
1、设A为正定矩阵，若a为其特征值，则按定义有Ax= ax,x为a对应的特征向量且x不等于0。
2、根据正定矩阵的定义有x'Ax>0，所以ax'x>0，因为x'x>0,所以a>0。
3、设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
4、如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν。
5、其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。
6、其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
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